2. Векторы
3. Стереометрия
4. Начала теории вероятностей
6. Простейшие уравнения
7. Преобразование выражений
8. Производная функции
9. Практические задачи
10. Текствые задачи
11. Графики функций
12. Исследование функций
13. Уравнения
14. Стереометрия с доказ-вом
15. Неравенства
16. Финансовая математика
17. Планиметрия с доказ-вом
18. Задачи с параметром
19. Задачи на логику
БАЗА ЗАДАНИЙ
Задание № 1. Планиметрия.
1. У треугольника со сторонами 12 и 15 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 10. Найдите длину высоты, проведенной ко второй стороне.
Ответ: 8
2. В треугольнике ABC угол A равен 56°, углы B и C – острые, высоты BD и CE пересекаются в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 124°
3. В треугольнике ABC угол C равен 66°, биссектрисы AD и BE пересекаются в точке O. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 123°
4. Угол A прямоугольного треугольника равен 64°. Найдите угол AOE, образованный биссектрисами этого и прямого углов треугольника. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 77°
5. В треугольнике ABC AC=BC, AB=20, высота AH равна 8. Найдите синус угла BAC.
Ответ: 0,4
6. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 8, sin∠BAC = 0,5. Найдите высоту AH.
Ответ: 4
7. В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AH – высота, sin∠BAC=7/25. Найдите sin∠BAH.
Ответ: 0,96
8. В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AH – высота, tg∠BAC=7/24. Найдите cos∠BAH.
Ответ: 0,28
9. В треугольнике ABC известно, что AC = BC=4√15, cos∠BAC=0,25. Найдите высоту AH.
Ответ: 7,5
10. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB=10, AC=√51. Найдите sin∠A.
Ответ: 0,7
11. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30°. Боковая сторона треугольника равна 11. Найдите площадь этого треугольника.
Ответ: 30,25
12. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 14°. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 31°
13. Острые углы прямоугольного треугольника равны 84° и 6°. Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 78°
14. Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведёнными из вершины прямого угла, равен 14°. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника.
Ответ: 31°
15. В треугольнике ABC CD — медиана, угол C равен 90°, угол B равен 35°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 55°
16. В треугольнике ABC AC=BC=20, AB=28. Найдите косинус угла A.
Ответ: 0,7
17. В треугольнике ABC известно, что AC=BC=7, tg∠A= √33/4 . Найдите AB.
Ответ: 8
18. В треугольнике ABC AC = BC = 5, sin∠A =0,8. Найдите АВ.
Ответ: 6
19. В равностороннем треугольнике ABC высота CH равна 45√3. Найдите AB.
Ответ: 90
20. В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AB = 1, cos∠A= √17/17. Найдите высоту CH.
Ответ: 2
21. В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AB = 16, tg∠A=0,5. Найдите высоту CH.
Ответ: 4
22. В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AB = 4, высота CH=2√3. Найдите угол С.
Ответ: 60°
23. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=6, tg∠A=√5/2. Найдите AB.
Ответ: 9
24. В треугольнике ABC стороны AC и BC равны, угол C равен 156°, угол CBD – внешний. Найдите угол CBD. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 168°
25. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла проведена медиана CD, причем величины углов BDC и ADC относятся как 4:5. Найдите величину угла А в градусах.
Ответ: 40°
26. Высота AD треугольника АВС делит противоположную сторону на части: CD = 4, BD =1,5. Найдите длину стороны АC, если tg∠B = 2.
Ответ: 5
27. В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, BC = 8, sin∠A=0,5. Найдите BH.
Ответ: 4
28. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 5, cos∠A = 0,6. Найдите высоту CH.
Ответ: 2,4
29. В треугольнике ABC угол C равен 90°, угол A равен 30°, AB=2√3. Найдите высоту CH.
Ответ: 1,5
30. В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, BC = 3, cos∠A= √35/6. Найдите AH.
Ответ: 17,5
31. В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, AB = 13, tg∠A = 1/5. Найдите AH.
Ответ: 12,5
32. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 13, tg∠A = 1/5. Найдите высоту CH.
Ответ: 2,5
33. В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, BC = 25, BH = 20. Найдите cos∠A.
Ответ: 0,6
34. В тупоугольном треугольнике ABC AC = BC=8, высота AH равна 4. Найдите sin∠ACB.
Ответ: 0,5
35. В тупоугольном треугольнике ABC AC = BC, AB = 10, высота AH равна 8. Найдите sin∠BAC.
Ответ: 0,8
36. В тупоугольном треугольнике ABC AC = BC, AB = 5, высота AH равна 4. Найдите cos∠BAC.
Ответ: 0,6
37. В треугольнике ABC угол C равен 90°, синус ∠В=7/25. Найдите синус внешнего угла при вершине А.
Ответ: 0,96
38. В треугольнике ABC угол C равен 90°, косинус угла В=0,6. Найдите косинус внешнего угла при вершине А.
Ответ: -0,8
39. В треугольнике ABC угол C равен 90°, косинус внешнего угла при вершине A равен -0,1. Найдите синус ∠B.
Ответ: 0,1
40. В треугольнике ABC угол C равен 90°, тангенс внешнего угла при вершине A равен -2. Найдите тангенс ∠B.
Ответ: 0,5
41. В треугольнике ABC AC=BC=√17, AB=8. Найдите тангенс внешнего угла при вершине В.
Ответ: -0,25
42. В треугольнике ABC AC=BC=8, косинус внешнего угла при вершине В равен -0,5. Найдите AB.
Ответ: 8
43. Один из внешних углов треугольника равен 85°. Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 2:3. Найдите наибольший из них. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 51°
44. В треугольнике ABC угол A равен 60°, угол B равен 70°, CH — высота. Найдите разность углов ACH и BCH. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 10°
45. В треугольнике ABC угол A равен 30°, CH — высота, угол BCH равен 22°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 38°
46. В треугольнике ABC AD — биссектриса, угол C равен 30°, угол BAD равен 22°. Найдите угол ADB. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 52°